مدل یک بیماری همه گیری – مدل SI

مقدمه

 یک همه گیری در این مدل، دقیقا همانند یک جمعیت در یک محیط ثابت رشد می‌کند. ظرفیت تحمل همان جمعیت کل، N است.   در مدل، هر گاه که یک فرد مبتلا وارد جامعه شود هر فرد مستعد بیماری در نهایت مبتلا می‌شود.

انواع جمعیت کل جامعه در مدل SI:

• S افراد مستعد بیماری 
• I افراد مبتلا به بیماری 

زمانی که افراد به بیماری مبتلا می‌شوند از دسته افراد مستعد به دسته مبتلایان انتقال می‌یابند.

مفروضات مدل SI:

1. زاد و ولد، مرگ و میرها و مهاجرت‌ها نادیده گرفته شده‌اند. بنابراین جمعیت کل ثابت است.
2. یک بار که افراد مبتلا شدند تا ابد مبتلا باقی خواهند ماند. بنابراین افراد به صورت نامحدود مبتلا به بیماری باقی می‌مانند.
3. جمعیت یکنواخت و هم جنس در نظر گرفته می‌شود – فرض بر این است که تمام افراد جامعه با نرخ میانگین یکسانی با یکدیگر در ارتباط‌اند (هیچ خرده فرهنگ یا گروه‌های مجزا از دیگران یا افراد با هنجارهایی متمایز از بقیه در جامعه وجود ندارد).
4. بیماری الگوهای زندگی افراد را تغییر نمی‌دهد – ‌فرض می‌شود افراد مبتلا با همان نرخ میانگینی که افراد مستعد با یکدیگر در ارتباط‌اند با دیگران تعامل دارند.
5. هیچ نوع بهبودی، قرنطینه یا واکسیناسیونی امکان پذیر نیست.

به همین دلیل است که این مدل برای بیماری‌های مزمن کاربرد دارد،  نه بیماری‌های حادی چون آنفولانزا و طاعون.

حلقه‌های مدل SI

• حلقه مثبت سرایت بیماری- بیماری‌های واگیردار زمانی شیوع می‌یابند که افراد مبتلا با افراد مستعد در تماس بوده و بیماری را به آنها انتقال دهند که از این طریق موجب افزایش جمعیت مبتلایان (حلقه مثبت )
• حلقه منفی کاهش بیماری – به طور همزمان سبب کاهش تعداد افراد مستعد می‌گردد (حلقه منفی)

معرفی نمادها

جمعیت مبتلایان (I) با نرخ ابتلا یعنی (IR) افزایش یافته در حالی که جمعیت مستعد (S) با نرخ ابتلا کاهش می‌یابد.

I = Integral ( IR , I.)

S=Integral (-IR, N-I.)

 N: جمعیت کل جامعه

  I.: تعداد اولیه افراد مبتلا به بیماری ( تعداد‌اندکی ازافراد یا حتی یک نفر) است.

برای فرموله کردن نرخ ابتلا، فرآیندی را بررسی کنید که در آن افراد مستعد، به بیماری مبتلا می‌شوند.

 C: افراد در یک جامعه با نرخ معینی با یکدیگر در تماس‌اند (نرخ تماس یا C با واحد تعداد افراد در ارتباط با یک فرد در یک دوره زمانی، یا دوره زمانی/۱ ،‌ اندازه گیری می‌شود).

جمعیت افراد مستعد بیماری: در هر دوره زمانی، تعداد SC برخورد با دیگران ایجاد می‌کنند. برخی از این برخوردها با افراد مبتلا صورت می‌گیرد.

چنانچه افراد مبتلا با نرخی مشابه افراد مستعد با دیگران ارتباط برقرار کنند (آنان قرنطینه یا بستری نشده باشند)، احتمال آنکه هر برخورد تصادفی با فردی مبتلا صورت گرفته باشد برابر است با I/N البته هر برخورد با فرد مبتلا سبب ابتلا به بیماری نمی گردد.

i : احتمال ابتلا به بیماری، احتمال ابتلای فرد به بیماری پس از برخورد با یک فرد مبتلاست.

IR : نرخ ابتلا برابر است با مجموع کل برخوردهای افراد مستعد SC ضربدر احتمال آنکه هر یک از برخوردها، برخوردی با یک فرد مبتلا باشد ‌I/N ، ضربدر احتمال آنکه برخورد با یک فرد مبتلا منجر به ابتلای آن فرد گردد.

IR = (CiS) (I/N)

پویایی‌ها را می‌توان با نادیده گرفتن تعداد تولدها، مرگ و میرها یا مهاجرت‌ها،‌ یعنی ثابت ماندن عدد جمعیت کل،‌ تعیین نمود.

S + I = N

سیستم درجه اول

با این که سیستم فوق دو متغیر حالت دارد، اما در واقع سیستمی از درجه اول است چرا که یکی از این دو متغیر کاملا توسط متغیر دیگر تعیین می‌گردد. با جایگزینی N-I به جای S در رابطه بالا قرار می‌دهیم. پس داریم:

IR = (C) (i) I (1-N/I)

تحلیل رفتار مدل

• یک همه گیری در این مدل، دقیقا همانند یک جمعیت در یک محیط ثابت رشد می‌کند. ظرفیت تحمل همان جمعیت کل، N است.
• در مدل، هر گاه که یک فرد مبتلا وارد جامعه شود هر فرد مستعد بیماری در نهایت مبتلا می‌شود.
• نرخ ابتلا از یک منحنی زنگوله ای شکل و جمعیت کل مبتلایان از الگوی کلاسیک S شکل مدل لجستیک پیروی می‌کند.
• هر چه نرخ تماس افراد با یکدیگر و احتمال ابتلای آنها به بیماری بیشتر باشد، همه گیری با سرعت بیشتری پیشرفت می‌کند.
• مدل SI ، ویژگی اصلی بیماری‌های واگیردار را نشان می‌دهد: بیماری از طریق تماس میان افراد مبتلا و افراد مستعد، انتقال می‌یابد.
• تعامل میان این دو گروه است که حلقه‌های مثبت و منف را ایجاد نموده و غیر خطی بودن، موجب جابه جایی حلقه‌های غالب به هنگام کاهش تعداد افراد متسعد می‌شود.
• خاصیت غیر خطی بودن ازآنجا ناشی می‌شود که مقدار دو جمعیت در یکدیگر ضرب می‌شوند، برای ایجاد یک مورد جدید بیماری، وجود یک فرد مبتلا و یک فرد مستعد ضروری است.