تعریف

نوسان یکی از الگوهای رایج در رفتارهای پایه پویایی سیستم است. مانند رفتار هدف جو، نوسان‌ها به وسیله حلقه‌های بازخوردی منفی به وجود می‌آیند. وضعیت سیستم با هدف آن مقایسه می‌شود و اقدمات اصلاحی برای رفع هرگونه اختلافی انجام می‌شود. در یک سیستم نوسانی، وضعیت سیستم پیوسته از هدف یا وضعیت تعادل خود فراتر رفته، سپس باز می‌گردد، بعد از حد تعادل پایین‌تر می‌رود و به همین ترتیب ادامه می‌یابد. خارج شدن از حد تعادل از حضور تاخیرهای زمانی قابل توجه در حلقه منفی ناشی می‌شود. تاخیرهای زمانی باعث می‌شوند اقدامات اصلاحی حتی بعد از رسیدن سیستم به هدف ادامه یابد، و در نتیجه سیستم را مجبور به تعدیل بیش از حد می‌کنند و اصلاح جدیدی را در جهت مخالف ایجاد می‌کند. (Sterman J. , 2000). برای اینکه یک نوسان در فرآیند رخ دهد باید حداقل دو متغیر حالت وجود داشته باشد. درجه نوسان تحت تأثیر تأخیرهای سیستم است (Kirkwood, 1998)

خارج شدن از حد تعادل از حضور تاخیرهای زمانی قابل توجه در حلقه منفی ناشی می شود. تاخیرهای زمانی باعث می شوند اقدامات اصلاحی حتی بعد از رسیدن سیستم به هدف ادامه یابند،‌ سیستم را مجبور به تعدیل بیش از حد می کنند و اصلاح جدیدی را در جهت مخالف راه اندازی می کنند. 

رفتاری که توسط یک سیستم مرتبه دوم یا مرتبه بالاتر نشان داده می‌شود که در آن مقدار متغیر حالت به طور دوره‌ای در طول زمان افزایش و کاهش می‌یابد. سه نوع نوسان عبارتند از: پایدار، که در آن دامنه ثابت می‌ماند. در حال گسترش، جایی که دامنه افزایش می‌یابد. و میرا، جایی که دامنه کاهش می‌یابد. (Ford, 2019)

 

مفهوم نوسان

نوسان، تغییر مکرر یا دوره‌ای، در طی زمان، یک کمیت حول یک مقدار مرکزی (اغلب یک نقطه تعادل ) یا بین دو یا چند حالت مختلف است. نمونه‌های آشنای نوسان شامل آونگ نوسانی و جریان متناوب است. از نوسانات می‌توان در فیزیک برای تقریب فعل و انفعالات پیچیده مانند تعاملات بین اتم‌ها استفاده کرد. (Schwarzacher, 993)

نوسانات نه تنها در سیستم‌های مکانیکی، بلکه در سیستم‌های دینامیکی تقریباً در هر زمینه‌ای از علم رخ می‌دهد: برای مثال ضربان قلب انسان (برای گردش خون)، چرخه‌های تجاری در اقتصاد، چرخه‌های جمعیت شکارچی- شکار در اکوسیستم، آبفشان‌های زمین گرمایی در زمین‌شناسی، ارتعاش سیم‌ها در گیتار و سایر سازهای زهی، شلیک دوره‌ای سلول‌های عصبی در مغز، و تورم دوره‌ای ستارگان در نجوم. اصطلاح ارتعاش دقیقاً برای توصیف یک نوسان مکانیکی استفاده می‌شود. (van Benthem, 2015)

نوسان، به ویژه نوسان سریع، ممکن است یک پدیده نامطلوب در تئوری کنترل و کنترل فرآیند باشد (به عنوان مثال در کنترل حالت لغزشی)، که در آن هدف همگرایی به حالت پایدار است. (Miraoui, 2020)

 

ساختار سیستم نوسانی

ویژگی تعیین‌کننده یک مسئله پویا (به معنای سیستمی، بازخورد) فقط پویا بودن متغیرها نیست. به طور انتقادی تر، در یک مسئله دینامیک سیستمی، پویایی متغیرها باید ارتباط نزدیکی با عملکرد ساختار داخلی برخی از سیستم‌ها داشته باشد. گفته می‌شود که پویایی اساساً ناشی از ساختار بازخورد داخلی سیستم است (دیدگاه درون زا). (Barlas, 2007)

بنابراین، موجودی‌های نوسانی یک مسئله سیستمی و بازخوردی است، زیرا نوسانات معمولاً توسط تعامل سیاست‌های سفارش و تولید ایجاد می‌شوند. اما اگر نوسانات توسط یک نیروی خارجی مانند شرایط آب و هوایی در حال نوسان تعیین می‌شد این یک مسئله سیستمیک تلقی نمی‌شد، اگرچه هنوز در مفهوم فنی آن یک مسئله پویا خواهد بود.

  مدیران موجودی کار زیادی نمی توانند برای حذف یا کاهش نوسانات انجام دهند. اگر طبق روندهای جدید، یک فروشگاه زنجیره‌ای چند ملیتی، بازار خرده فروشی را تحت تاثیر قرار دهد، که به نوبه خود باعث کاهش غیرقابل اجتناب فروش فروشگاه‌های مواد غذایی کوچک می‌شود، این یک مسئله بازخورد سیستمی نخواهد بود. کارهای مدیریتی زیادی که مالک فروشگاه‌های مواد غذایی کوچک می‌تواند انجام دهد تا این روند را معکوس کند یا بر سیاست‌های زنجیره تامین یک شرکت چند ملیتی تأثیر بگذارد، وجود ندارد. اهمیت تمایز این است که اگر/زمانی که دینامیک توسط نیروهای خارج از سیستم دیکته می‌شود. فضا یا امکان زیادی برای کنترل و بهبود مدیریتی وجود ندارد. از سوی دیگر، مسئله بازخورد سیستمیک، مستلزم اقدام مدیریتی پویا و مستمر است.

شکل زیر را می‌توان به عنوان نمونه‌ای از یک رفتار نوسانی در یک کسب و کار ارائه کرد. هنگامی که شکل مورد بررسی قرار می‌گیرد، می‌توان مشاهده کرد که تاخیر در پیوندهای اطلاعاتی و همچنین تاخیر در ادراک که در نتیجه تاخیر در اندازه گیری و گزارش یا تصمیم گیری رخ می‌دهد و تاخیر در شروع اقدامات اصلاحی و وقوع آنها. اثرات در شکل گیری رفتار نوسانی موثر بود.

در صورت وجود هر گونه تاخیر قابل توجهی در هر نقطه از حلقه، نوسانات به وجود می‌آیند. تاخیرها می‌توانند به اشکال زیر به وجود آیند:

۱- تاخیرهایی در هر یک از روابط اطلاعاتی به وجود آورنده حلقه

۲- تاخیرهایی در درک وضعیت سیستم که از سیستم اندازه گیری و گزارش دهی ناشی می‌شود

۳- تاخیرهایی در تعریف و طراحی اقدام اصلاحی بعد از درک اختلاف

۴- تاخیرهایی در اجرا یعنی بین شروع اقدام اصلاحی و تاثیر آن روی وضعیت سیستم

هر متغیر توسط ساختار بازخوردی خاصی تعیین می‌شود و پارامترها قدرت حلقه‌ها و طول تأخیرها را تعیین می‌کنند، اما حلقه‌های بازخورد منفی برای همه مشترک است.

 ممکن است تاخیرهایی در هر یک از روابط اطلاعاتی وجود داشته باشد که از سیستم اندازه گیری و گزارش دهی ناشی شده باشد. ممکن است تاخیرهایی در آغاز اقدام اصلاحی بعد از درک اختلاف وجود داشته باشد که این تاخیرها معمولا به دلیل مدت زمانی است که برای تصمیم گیری نیاز است در عین حال ممکن است تاخیرهایی بین شروع اقدام اصلاحی و تاثیر آن روی وضعیت سیستم وجود داشته باشد. اندازه گیری و گزارش دهی میزان موجودی یک شرکت زمان بر است،  این زمان صرف جلسات و تصمیم گیری مدیریت در مورد میزان تولید می‌شود، همچنین زمان بیشتری صرف تهیه مواد خام،‌ نیروی کار و دیگر منابع لازم برای برنامه جدید تولید می‌شود. تاخیرهای نسبتا طولانی در هر یک از این نقاط برای ایجاد نوسان در موجودی کافی است. 

رفتار یک سیستم نوسانی در شکل ذیل نشان داده شده است.

 

انواع سیستم‌های نوسانی

نوسان‌ها یکی از رایج ترین الگوهای رفتاری در سیستم‌های پویا هستند. انواع مختلفی از نوسان وجود دارد:

• نوسان‌های انبساطی
• نوسان‌های میرا
• چرخه‌های محدود
• آشوب

هر نوع به وسیله ساختار بازخوردی خاصی و گروهی از پارامترها که قدرت حلقه‌ها و مدت تاخیرها را تعیین می‌کنند ایجاد می‌شود. اما هر یک از انواع نوسان،‌ در ساختار پنهان خود حلقه بازخوردی منفی دارد که با تاخیرات رخ می‌دهند.

نوسانات با تاخیر – مثال انسولین

یکی از رایج ترین نوسانات در سیستم‌های دینامیکی نوسان مبتنی بر تاخیر است. ما مثالی را در نظر می‌گیریم که از متابولیسم انسان گرفته شده است: دیابت. در افراد سالم، هورمون انسولین مسئول انتقال گلوکز (قند خون) از خون به سلول‌های بدن است، جایی که گلوکز برای تولید انرژی سوزانده می‌شود. سطح گلوکز خون توسط یک حلقه بازخوردی متعادل کننده،‌ یکپارچه می‌شود: با افزایش گلوکز در خون پس از غذا، انسولین در خون ترشح می‌شود که باعث کاهش گلوکز می‌شود. برعکس، زمانی که سطح گلوکز پایین است، خروجی انسولین متوقف می‌شود و اجازه می‌دهد سطح گلوکز دوباره افزایش یابد. (Wallentin, 2020)

بیماران مبتلا به دیابت نوع 1 فاقد انسولین هستند و در نتیجه سطح گلوکز بالا می‌ماند که می‌تواند باعث مسئله عمده سلامتی شود. یک درمان متداول شامل نمونه برداری مکرر گلوکز، و به دنبال آن تزریق انسولین تنظیم شده برای پایین آوردن سطح گلوکز به حالت طبیعی است. اگر بیمار فراموش کند که انسولین را در پاسخ به افزایش سطح گلوکز تزریق کند، بدن او خود انسولین تولید می‌کند (البته کافی نیست). زمانی که بیمار احساس کند گلوکز هنوز بالاست، نمونه برداری و بر اساس آن انسولین تزریق می‌کند. انسولین تزریق شده اکنون به انسولین موجود اضافه شده و باعث می‌شود قند خون به میزان قابل توجهی کاهش یابد. تولید انسولین بدن بلافاصله به عنوان یک واکنش اضطراری متوقف می‌شود که به نوبه خود باعث افزایش مجدد سطح گلوکز می‌شود. (یک واکنش تاخیری)

نوسانات انسولین در یک بیمار دیابتی که انسولین را دیر تزریق می‌کند.

نوسانات مشابهی را می‌توان برای واکنش‌های بازخورد تاخیری در همه سیستم‌هایی یافت که توسط حلقه‌های بازخوردی منفی، کنترل می‌شوند، به عنوان مثال تاخیر در سفارشات و تحویل پس از افزایش نرخ فروش یک محصول خاص. واکنش تاخیری به تغییر دما در سیستم‌های کوره؛ واکنش‌های تاخیری یک شکارچی برای کنترل جمعیت آهو با منابع محدود.

 

نوسانات با تاخیر – مثال اثر شلاقی زنجیره تامین

بازخورد تاخیری در یک سیستم، که با یک حلقه علی (سمت چپ) و نمودار جریان و حالت (سمت راست) مشخص شده است.

نمودارهای بالا یک مثال ساده، اما کلاسیک از تأخیر در تحویل سفارشی را نشان می‌دهد که برای باز پرسازی موجودی، استفاده می‌شود. فرض کنید یک بقال روز دوشنبه 10 بطری شیر می‌فروشد. عصر دوشنبه او سفارش خرید 10 بطری شیر را می‌دهد که از قفسه‌هایش خالی شده است. روز سه شنبه 5 بطری دیگر می‌فروشد. عصر سه‌شنبه کمی عصبی می‌شود و به جای 5 بطری 7 بطری سفارش می‌دهد – فقط برای اینکه کمی هم موجودی داشته باشد. چهارشنبه 15 بطری می‌فروشد و واقعاً استرس می‌گیرد: تقریباً هیچ بطری در قفسه‌هایش باقی نمی‌ماند، بنابراین 25 بطری سفارش می‌دهد. روز پنجشنبه مامور تحویل می‌آید و 42 بطری شیر می‌آورد. ۱۲  بطری بیش از حد ظرفیت انبار و قفسه‌ها می‌باشد. بقال تصمیم می‌گیرد سفارش جدید را تا زمانی به تاخیر بیاندازد که آنقدر بطری بفروشد که دوباره فضای کافی در انبار آزاد شود.

وقتی موجودی بقالی را در طول زمان رسم می‌کنید، نوسان شدیدی خواهید دید. این نوسان به دلیل تاخیر در ثبت سفارش و تحویل محصول می‌باشد. تصور کنید، یک خط لوله شیر وجود داشت که به طور خودکار شیر را دوباره پر می‌کرد، درست پس از اینکه مشتری آن را از قفسه بر می‌دارد: هیچ نوسانی در چنین سیستمی وجود نخواهد داشت. نوسانات ناشی از تاخیر در تحویل در واقع بسیار رایج است و برای هر سیستمی یک چالش است. هر چه سطوح فروش و فروش مجدد بیشتر باشد، نوسان بیش از پیش می‌شود. این اثر “اثر شلاقی” نامیده می‌شود. در مطالعات انجام شده با یک زنجیره تامین چهار مرحله‌ای ساده، تغییرات کوچک در تقاضای اولیه منجر به دامنه سفارش 900 درصدی تنها چهار مرحله قبل تر در زنجیره تامین می‌شود

نوسانات در دو متغیر حالت

سیستمی با دو متغیر حالت جفت شده: گوسفند که از علف تغذیه می‌کند.

تا به حال، ما سیستم‌هایی را با تنها یک متغیر حالت، به عنوان مثال یک وان حمام یا جمعیت گوسفند مورد بحث قرار می‌دادیم. با این حال، اغلب سیستم مورد علاقه ما بیش از یک متغیر حالت دارد. برای خوراک گوسفندان، ما به علف نیاز داریم که می‌توان آن را به عنوان یک متغیر حالت دیگر مدل کرد. این دو متغیر حالت نزدیک به هم هستند: گوسفندان از خوردن علف تغذیه می‌کنند و به نوبه خود چرا باعث از بین رفتن زیست توده در اکوسیستم علفزار می‌شود. بنابراین علف به طور مستقیم بر ورود گوسفند و گوسفند به طور مستقیم بر خروج علف تأثیر می‌گذارد. این سیستم به شرح زیر عمل می‌کند: ما فقط با چند گوسفند شروع می‌کنیم – و در عین حال یک مرتع با علف تازه فراوان را در مدلسازی می‌کنیم. جمعیت گوسفند به سرعت رشد می‌کند و علف‌ها تا زمانی که تقریباً چیزی باقی نماند چرا می‌کنند. با کاهش علف، جمعیت گوسفند کنترل می‌شود تا زمانی که جمعیت کاهش یابد و علف بتواند بهبود یابد. این تمام چیزی است که برای به دست آوردن یک نوسان کامل نیاز داریم. بیایید نگاهی بیندازیم که چگونه چنین سیستمی در نمودار جریان و حالت نشان داده می‌شود:

یک سیستم چمن گوسفند همراه به عنوان نمودار حالت و جریان

 

در بالا، نمودار جریان و حالت از یک سیستم بسیار ساده علف – گوسفند را نمایش می‌دهد. یک پیکان تأثیرگذار از جمعیت گوسفند به متغیر علف اشاره می‌کند تا از بین رفتن علف را با چرا مدل‌سازی کند: گوسفند بیشتر – علف کمتر. این نشان می‌دهد که باید میزان خروج علف را در تعداد گوسفند ضرب کنیم. به طور مشابه، زاد و ولد گوسفندان را با مقدار علف در معادله جمعیت – ورودی گوسفند ضرب می‌کنیم. اکنون، ما آماده هستیم تا مدل را پیاده سازی کنیم: نتیجه تغییرات اندکی نوسانات در هر دو متغیر حالت در طول زمان است، همانطور که بحث کردیم. نمودار حاصل در پایین سمت راست است.

احتمالاً معروف‌ترین نمونه از سیستم‌های نوسانی دو متغیره، مدل شکارچی است. اولین بار به طور مستقل توسط دو دانشمند در اواسط دهه 1920 فرموله شد. اول، آلفرد لوتکا، که کار او بر دنیای آکادمیک بسیار تأثیرگذار بود، اگرچه او یک حرفه غیر آکادمیک را دنبال کرد و بیشتر عمر خود را به عنوان آمارگیر در شرکت بیمه زندگی متروپولیتن کار کرد. دوم، ویتو ولترا، ریاضیدان ایتالیایی، که در مورد نوسانات موجود در گونه‌های خاص ماهی در بازارهای ماهی رومی کار می‌کرد. معادلات امروزه به عنوان مدل لوتکا-ولترا شناخته می‌شوند. این یکی از مدل‌های مورد استناد در اکولوژی است و الهام بخش نسلی از محققان است. رابطه نظری بین یک شکارچی و یک جمعیت شکار به طور تجربی برای بسیاری از سیستم‌ها از آن زمان به اثبات رسیده است.

نمودارهای فضای فاز

ما می‌توانیم نوسان طعمه شکارچی را در فضای فاز مشاهده کنیم. فضای فاز وضعیت سیستم‌های یک انبار را در محور x (به عنوان مثال جمعیت گرگ) در برابر یک انبار دیگر در محور y (مثلا جمعیت گوسفند) ترسیم می‌کند. نوسانات پایدار به طور مکرر همان نقاط را در فضای فاز بازبینی می‌کنند، به طوری که مسیر یک حلقه بسته ایجاد می‌کند. بسته به مقدار متغیر حالت در یک مدل، فضای فاز می‌تواند دو بعدی، سه بعدی یا حتی چند بعدی باشد. تجسم یک فضای چند بعدی ساده نیست، اما فضای فاز می‌تواند برای تحلیل ریاضی مفید باشد.

 

نوسانات میرایی

نوسانات میرایی به سمت یک تعادل پایدار تمایل دارند، دامنه نوسانات بدون رسیدن به این تعادل (از لحاظ نظری) بی نهایت کاهش می‌یابد. چنین نوسانی زمانی حاصل می‌شود که یک حلقه بازخورد متعادل کننده اضافی را به سیستم شکارچی 2 متغیر حالت اضافه کنیم. برای مثال، می‌توانیم مرگ و میر گوسفندان را معرفی کنیم: هر چه تعداد گوسفندان در جمعیت بیشتر باشد، گوسفندان بیشتری می‌میرند. هر چه گوسفندان بیشتر مرده باشند – گوسفند کمتری باقی می‌ماند. این بازخورد اثر نوسان بین متغیر حالت را در طول زمان آرام می‌کند. به جای حلقه بازخورد متعادل کننده، می‌توانیم یک حلقه تقویت‌کننده نیز اضافه کنیم، مثلاً رشد علف: هرچه علف بیشتری در مرتع باشد، بذرهای بیشتری در دسترس باشد – علف‌های جدید بیشتری در مرتع رشد خواهند کرد. 

 

چرخه محدود

یک رفتار جالب که یک سیستم نوسانی می‌تواند نشان دهد، چرخه حدی باشد. نوسانات به سمت یک تعادل پایدار تمایل ندارند، اما آنها به یک نوسان پایدار در محدوده‌های ثابت می‌رسند. چرخه‌های محدود اغلب در سیستم‌های زنده مشاهده می‌شوند: برخی رویدادها (مثلاً یک تابستان بارانی که رشد علف‌ها را افزایش می‌دهد) ممکن است باعث ایجاد یک نوسان شدید غیرمعمول شود (مثلاً هجوم شدید آفات). با این حال، با گذشت زمان، نوسان به نوسانات معمول و متوسط ​​خود برمی گردد. از نظر فنی، یک چرخه حدی یک نوسان 2 سهام است که توسط یک تابع رشد لجستیک اضافی کنترل می‌شود که نوسان را در محدوده خود نگه می‌دارد.

یک چرخه حدی همیشه به نوسانی در محدوده‌های ذاتی خود تمایل دارد. اگر از نوسانات ضعیف شروع کنیم، این نوسانات در طول زمان تقویت می‌شوند تا به حالت ذاتی خود بازگردند. در فضای فاز، یک چرخه حدی نزدیک به «مرکز» شروع می‌شود، مارپیچ به بیرون می‌رود و به طور فزاینده‌ای در مسیر ذاتی سیستم خود قرار می‌گیرد.

سیستم های آشفته

یک سیستم پایدار بدون توجه به اینکه از کدام شرایط اولیه شروع می‌شود، در نهایت به جذب کننده خود همگرا می‌شود. در فضای فاز، این جذب کننده می‌تواند یک نقطه (مثلاً رشد لجستیک یا نوسانات میرا)، یک خط (مثلاً چرخه‌های حدی)، اما همچنین سطوح، حجم‌ها و آنالوگ‌های ابعاد بالاتر آنها در فضای فاز چند بعدی باشد.

برای مدت طولانی اعتقاد بر این بود که سیستم‌های هرج و مرج جاذبه ندارند. با این حال، چنین جاذبه‌هایی وجود دارند. به اصطلاح «جاذبه‌های عجیب» دارای اشکال پیچیده و چند بعدی در فضای فاز هستند. این بدان معنی است که سیستم‌های آشفته نیز محدود شده اند و رفتار ذاتی سیستم را از خود نشان می‌دهند. با این حال، آنها با سایر سیستم‌ها به دلیل حساسیت شدیدشان در شرایط اولیه متفاوت هستند.

بیایید یک سیستم کلاسیک “آشوب” را در نظر بگیریم: آب و هوا. سیستم هواشناسی در محدوده‌ها و روابط خاصی محدود شده است: در مناطق استوایی همیشه گرمتر از قطب شمال خواهد بود، اما هرگز گرمتر از آب جوش نخواهد بود. اما اینکه هوای فردا چگونه خواهد بود، به شدت به شرایط اولیه (یعنی شرایط هواشناسی امروز) بستگی دارد. تا زمانی که ما 100% اطلاعات کاملی از شرایط فعلی دقیق نداشته باشیم، پیش بینی دقیق آب و هوای پیش رو غیرممکن است. این اثر پس از ادوارد لورنز، “اثر پروانه” نامیده می‌شود (Lorenz 1972 )نشریه تأثیرگذار «پیش‌بینی‌پذیری: آیا بال پروانه در برزیل باعث ایجاد گردباد در تگزاس می‌شود؟»، که زمینه‌ای را آغاز کرده است که به عنوان نظریه آشوب شناخته می‌شود. لورنز وقتی دید که یک خطای گرد کردن در رقم پنجم بعد از کاما به پیش‌بینی‌های اساساً متفاوتی منجر می‌شود، رفتار آشفته‌ای را کشف کرد.

از نظر ریاضی، سیستم‌های آشوبناک حداقل از سه معادله دیفرانسیل معمولی جفت شده تشکیل شده اند. در اصطلاح دینامیک سیستم، این مربوط به سه سهم با جریان ورودی و خروجی مربوط به آنها است. با این حال، همه سیستم‌های چند سهام، سیستم‌های آشفته نیستند. مشخصه بارز یک سیستم آشفته، حساسیت شدید آن به شرایط اولیه است.

سیستم‌های آشفته ممکن است تصادفی به نظر برسند. با این حال، آنها خودسرانه نیستند، اما رفتار آنها – در اصل – قطعی است و می‌توان آن را به صورت ریاضی پیش بینی کرد. اگر تمام پارامترها دقیقاً شناخته شده بودند و معادلات زیربنایی با دقت بی‌نهایت محاسبه می‌شد، می‌توانستیم سیستم‌های آشفته را به دقت پیش‌بینی کنیم. بنابراین پیش بینی‌های آب و هوا قدرت پیش بینی خود را با فراوانی حسگرهایی که به طور مداوم شرایط جوی را اندازه گیری می‌کنند و با قدرت رایانه‌های مورد استفاده برای محاسبه مدل‌ها افزایش می‌دهد. با این حال، دریچه یک پروانه در نهایت یک گردباد را تحریک می‌کند.

References

Barlas, Y. (2007). System dynamics: systemic feedback modeling for policy analysis. System, 1-68.

Ford, D. N. (2019). A system dynamics glossary. System dynamics review, 369-379.

Kirkwood, C. W. (1998). System dynamics methods. College of Business Arizona State University USA.

Miraoui, M. &. (2020). Dynamics and oscillations of models for differential equations with delays. Boundary Value Problems, 1-17.

Schwarzacher, W. (993). Cyclostratigraphy and the Milankovitch theory. Elsevier.

Sterman, J. (2000). Business Dynamics Systems Thinking And Modelling In A. New York: Mcgraw-Hill.

Sterman, J. D. (2001). ystem dynamics modeling: tools for learning in a complex world. California management review, 8-25.

van Benthem, J. (2015). Oscillations, logic, and dynamical systems.

Wallentin, G. (2020, August 25). UNIGIS module: Spatial Simulation. Retrieved from https://unigis-salzburg.github.io/Opt_Spatial-Simulation/index.html