دکتر محمدرضا عاطفی
عضو هیات علمی دانشگاه
مشاور استراتژی و نوآوری
مدل رشد نمایی
مقدمه
ساختارهای عمومی ساختارهای نسبتاً ساده‌ای هستند که در بسیاری از موقعیت‌های مختلف تکرار می‌شوند. مطالعه ساختارهای عمومی اهمیت زیادی دارد زیرا کمک می‌کند تا بینش ما به ساختار دیگر سیستم ها منتقل شود.
در این سری از بینش‌ها ساختارهای عمومی را معرفی خواهیم کرد تا درک خود را از رابطه بین ساختار و رفتار یک سیستم توسعه دهیم. چنین درکی باید به ما کمک کند شهود خود را در مورد سیستم هایی که ما را احاطه کرده اند اصلاح کنیم و به ما امکان می‌دهد توانایی خود را برای مدل سازی رفتار سیستم ها بهبود دهیم.
ما می‌توانیم دانش مربوط به یک ساختار عمومی را برای درک رفتار سیستم‌های دیگر که دارای همان ساختار هستند، استفاده کنیم. دانش ما از ساختارهای عمومی و رفتارهایی که آنها تولید می‌کنند قابل انتقال به سیستم هایی است که قبلاً هرگز مطالعه نکرده ایم!
غالباً رفتار یک سیستم آشکارتر از ساختار شکل دهنده آن است. سیستم ها با رفتارهای مشترکی که تولید می‌کنند، معرفی می‌شوند. با این حال، این نادرست است که فرض کنیم سیستم‌ها فقط می‌توانند محبوب‌ترین رفتارهای خود را نشان دهند، در واقع ما باید به سایر رفتارهای ممکن با دقت بیشتری نگاه کنیم. در واقع، مطالعه ما در مورد ساختارهای عمومی، دامنه رفتارهای ممکن از ساختارهای خاص را بررسی می‌کند. در هر مورد، ما به دنبال درک این هستیم که چه چیزی در ساختار مسئول رفتار تولید شده است.
این بینش یک ساختار عمومی ساده از بازخورد مثبت خطی مرتبه اول را معرفی می‌کند. ما مطالعه خود را در مورد ساختار بازخورد مثبت با مثال های زیادی از سیستم های حاوی این نوع ساختار نشان می‌دهیم.
رشد نمایی
رشد نمایی توسط یک حلقه بازخورد مثبت بین اجزای یک سیستم ایجاد می‌شود. رفتار رشد نمایی یا ترکیبی در شکل زیر نشان داده شده است. بسیاری از سیستم‌ها در جهان رفتار نمایی از خود نشان می‌دهند. به عنوان مثال، در یک سیستم اکولوژیکی، تولد آهو باعث افزایش جمعیت آهوها می‌شود، وآنها در نهایت تعداد آهو ها را بیشتر می‌کنند. در بانک، موجودی حساب شما با بهره ای که از آن به دست می‌آورید، افزایش می‌یابد، و هر چه موجودی شما بزرگتر شود، سود بیشتری از آن کسب می‌کنید! سیستم دیگری که می‌توان گفت رشد نمایی را نشان می‌دهد، سیستم یادگیری دانش است. به عبارت ساده، هر چه بیشتر بدانید، سریعتر یاد می‌گیرید و سپس دانش بیشتری کسب می‌کنید. شکل زیر یک منحنی رشد نمایی است
این سیستم های بسیار متفاوت الگوی رفتاری یکسانی از خود نشان می‌دهند زیرا رابطه بین اجزای آنها اساساً یکسان است. همه آنها دارای ساختار عمومی بازخورد مثبت خطی مرتبه اول هستند. همانطور که جمعیت به به تولدها مرتبط است، موجودی حساب شما با سودی که به دست می‌آورد و دانش با یادگیری مرتبط است.
اجازه دهید ماهیت این رابطه را با نگاه کردن به ساختار سه سیستم نمونه خود شروع کنیم.
ساختار عمومی
ما ساختار عمومی را مطالعه می‌کنیم و سپس رفتار ممکنی را که می‌تواند ایجاد کند بررسی می‌کنیم.
نمودار مدل
نمودار ساختار مدل عمومی حلقه مثبت مرتبه اول در شکل نشان داده شده است. در معادله جریان، حالت را در نرخ رشد ضرب می‌کنیم یا حالت را بر ثابت زمانی تقسیم می‌کنیم. ثابت زمانی صرفاً معادل نرخ رشد است.
معادلات مدل
معادلات ساختار عمومی عبارتند از:
متغیر حالت (t) = متغیر حالت (t – dt) + (جریان) * dt
stock(t) = stock(t – dt) + (flow) * dt
توضیحات: این معادله نشان دهنده حالت سیستم است. این معادله با جمعیت موش ها، موجودی بانکی و موجودی دانش در مثال های بالا مطابقت دارد.
واحد: واحد
جریان ورودی:
جریان = حالت * نرخ تولد
توضیحات: جریان، نسبتی از متغیر حالت است که در واحد زمان به سیستم اضافه می‌شود. این مربوط به تولدها، سود به دست آمده، و یادگیری در مثال های بالا است.
واحد: واحدها/زمان
نرخ تولد = ثابت
توضیحات: این کسر مرکب یا نرخ رشد است. جریان ورودی به حالت را تعیین می‌کند. نرخ رشد با نرخ تولد و نرخ بهره در مثال های بالا مطابقت دارد. این مقداری است که به صورت درصدی از متغیر حالت در هر زمان به متغیر حالت اضافه می‌شود.
واحد: واحد/واحد/زمان
نکته: اگر به جای کسر مرکب یک ثابت زمانی داشته باشیم، معادله جریان و ثابت زمانی به صورت زیر خواهد بود.
جریان ورودی:
جریان = حالت/ ثابت زمان
واحد: واحد/زمان
ثابت زمانی= ثابت
توضیحات: این ثابت زمانی، زمان تعدیل متغیر حالت است که با زمان یادگیری در مثال بالا مطابقت دارد. این زمان اضافه شدن یک واحد جدید به مقدار موجودی است.
واحد: زمان
از مقایسه دو معادله ممکن برای نرخ، متوجه می‌شویم که ضریب در معادله نرخ برابر است با:
ضریب (برای حالت) در معادله نرخ= کسر مرکب =
رفتار مدل
ویژگی مشخصه رشد نمایی زمان دوبرابر شدن ثابت آن است، یعنی زمانی که طول می‌کشد تا متغیر حالت دو برابر شود ثابت می‌ماند. به عنوان مثال در شکل 6، 7 سال طول می‌کشد تا سهام از 100 به 200 دو برابر شود و همچنین در همان زمان از 800 به 1600 دو برابر شود!
شکل – نتایج یک شبیه سازی ساختار عمومی بازخورد مثبت را نمایش می‌دهد.
برای یافتن زمان دو برابر شدن متغیر حالت، به ثابت زمانی سیستم نیاز داریم. ثابت زمانی ممکن است مستقیماً به شما داده شود (به عنوان زمان یادگیری در مثال بالا 3 است)، یا اگر کسر مرکب (نرخ رشد) دارید، ثابت زمانی به سادگی قابل محاسبه است که عکس آن است. ثابت زمانی از نرخ رشد به شکل روبه رو بدست می‌آید :
ثابت زمانی=
زمان دو برابر شدن سهام توسط:
دو برابر شدن زمان= ۷/۰ ضربدر ثابت زمانی
رفتارهای تولید شده توسط ساختار عمومی
برای کشف رفتارهای مختلف ممکن، اجازه دهید ابتدا با تغییر مقدار اولیه متغیر حالت آزمایشمان را انجام دهیم و ارزش کسر مرکب را ثابت نگه داریم. رفتارهای مختلف برای تغییر ارزش متغیر حالت اولیه در زیر نشان داده شده است. به متغیر حالت مقادیر اولیه 200-، 100-، 0، 100 و 200 برای اجراهای 1 تا 5 داده می‌شود. کسر مرکب در۱/۰ ثابت نگه داشته می‌شود. نتایج در شکل 7 نشان داده شده است.
یر حالت افزایشی یا کاهشی خواهد بود.
با یک مقدار مثبت برای نرخ رشد، ماهیت رفتار با مثبت یا منفی بودن مقدار اولیه متغیر حالت تعیین می‌شود. برای اینکه حلقه یک حلقه بازخورد مثبت باشد، ما نیاز داریم که نرخ رشد(کسر مرکب) مثبت باشد.
بنابراین، می‌بینیم که ساختار عمومی یک حلقه مثبت مرتبه اول می‌تواند سه نوع رفتار را نشان دهد – رشد نمایی مثبت، تعادل ناپایدار و رشد نمایی منفی.
اکنون بیایید بررسی کنیم که چه چیزی باعث تسریع یا تاخیر در رشد نمایی یک سیستم می‌شود. ما تأثیر تغییر ارزش کسر مرکب را با ثابت نگه داشتن مقدار اولیه متغیر حالت مطالعه خواهیم کرد. به کسر مرکب به ترتیب مقادیر 0، ۱/۰، ۲/۰، ۳/۰، و ۴/۰ برای اجراهای 1 تا 5 داده می‌شود. مقدار اولیه متغیر حالت در 100 ثابت نگه داشته می‌شود. تغییر در نرخ رشد نمایی در شکل زیر نشان داده شده است.
شکل بالا شبیه سازی برای مقادیر مختلف کسر مرکب است
شیب متغیر حالت در یک نقطه مشخص از زمان برابر است با جریان خالص ورودی به آن در آن زمان. هر چه نرخ رشد بزرگتر باشد، جریان بزرگتر و رشد متغیر حالت سریعتر است. نرخ رشد بزرگتر رشد نمایی را تسریع می‌کند.
برای ارزش اولیه منفی متغیر حالت، اثر نرخ رشد یکسان است، با این تفاوت که رشد در جهت منفی است.
ویژگی های مهم
ساختار
این حلقه یک حلقه بازخورد مثبت است اگر و فقط در صورتی که علامت در رابطه جریان خالص به متغیر حالت متغیر مثبت باشد. بنابراین، ساده ترین حلقه بازخورد مثبت نیاز به نرخ رشد مثبت برای جریان ورودی به متغیر حالت دارد.
رفتار
ما رفتار حلقه بازخورد مثبت را در جدول 1 زیر خلاصه می‌کنیم. اگرچه حلقه‌های بازخورد مثبت بیشتر به دلیل رشد نمایی شناخته می‌شوند، اما رفتارهای دیگری از خود نشان می‌دهند. یاد آوری: یک ضریب منفی در نرخ، یک حلقه بازخورد مثبت ایجاد نمی کند.
ساختار کلی یک حلقه مثبت مرتبه اول می‌تواند سه نوع رفتار را نشان دهد – رشد نمایی مثبت، تعادل ناپایدار و رشد نمایی منفی.
| متغیر حالت | برای مقدار اولیه متغیر حالت و ضریب نرخ (کسری یا ثابت زمانی)، رفتار متغیر حالت به صورت رنگی آورده شده است. | |||
| مثبت | صفر | منفی | ||
| تعادل | صفر | تعادل | صفر | کسر مرکب (نرخ رشد) |
| رشد نمایی مثبت | صفر | رشد نمایی منفی | مثبت | |
رشد نمایی مستلزم مقدار اولیه متغیر حالت غیر از صفر است. رشد نمایی دارای زمان دو برابر شدن ثابت است. سرعت رشد نمایی با مقدار نرخ رشد افزایش می‌یابد.
مثال 1: سیستم جمعیت-تولد
اولین مثال ما نشان داده شده در شکل زیر از اکولوژی جمعیت موش‌ها گرفته شده است. جمعیت موش‌ها متغیر حالت است و تولد موش‌ها جریان خالص ورودی به این نرخ است. میزان تولد موش‌ها برابر با مقدار موش ماده است که تولید مثل می‌کند و به عنوان کسر مرکب (نرخ تولد) از کل جمعیت موش ها محاسبه می‌شود.
تولد = جمعیت موش ها * نرخ تولد
مثال 2: سیستم موجودی بانکی – سود
مثال دوم ما در شکل 3 رابطه بین موجودی بانک و سودی که به دست می‌آورد را نشان می‌دهد. موجودی بانک متغیر حالت است و سود حاصل از ورود به متغیر حالت است. میزان سودی که هر سال به دست می‌آید برابر با کسر مرکب (نرخ بهره) موجودی بانک است.
سود کسب شده = موجودی بانکی * نرخ بهره
مثال 3: سیستم یادگیری- دانش
مثال سوم بیشتر یک سیستم انتزاعی تر است. شکل زیر نشان می‌دهد که ذخیره دانش با جریان خالص یادگیری افزایش می‌یابد. میزان یادگیری، دانشی است که در طول زمان گسترش می‌یابد. بنابراین، یادگیری برابر است با دانش تقسیم بر زمان یادگیری. زمان یادگیری به عنوان ثابت زمانی سیستم شناخته می‌شود. اساساً هر چه بیشتر بدانید، سریعتر یاد می‌گیرید.
یادگیری = دانش/زمان یادگیری
توجه داشته باشید که در معادله نرخ، حالت (دانش) را بر زمان تقسیم می‌کنیم تا یاد بگیریم. این مشابه ضرب در کسری است که در مثال های 1 و 2 مشاهده می‌شود. واحدهای زمان برای یادگیری واحدهای زمان مانند هفته ها یا ماه ها هستند. واحدهای کسر مرکب واحد/واحد/زمان خواهد بود.
همانطور که از شکل های 2، 3 و 4 مشخص است، هر سه این سیستم ها اساساً ساختار یکسانی دارند.
رشد نمایی ناشی از تقویت حلقه های بازخوردی است. موش ها را در مزرعه گندم در نظر بگیرید. موش‌ها می‌توانند به سرعت تولید مثل کنند: یک موش ماده می‌تواند تا هشت نوزاد در سال، با میانگین 6 تا 8 توله در هر زایمان به دنیا بیاورد. یک ماده در حدود 6 هفتگی به بلوغ جنسی می‌رسد. نتیجه یک رشد نمایی جمعیت است که به طور نجومی تنها در چند ماه چندبرابر می‌شود.
جمعیت موش در مزرعه گندم به طور نمایی رشد می‌کند
مانند حلقه بازخورد منفی(متعادل)، وضعیت متغیر حالت (تعداد جمعیت موش‌ها) مستقیماً بر میزان ورودی (در اینجا: تعداد توله‌های تازه متولد شده) تأثیر می‌گذارد. با این حال، در این مورد، جریان با حالت همبستگی مثبت دارد. هر چه تعداد جمعیت موش ها بیشتر باشد، تعداد توله های بیشتری متولد می‌شوند. مثال‌هایی از این دست در همه جا وجود دارند: هر چه یک صنعت سرمایه بیشتری داشته باشد، می‌تواند بیشتر تولید کند، و در نتیجه سرمایه بیشتری به دست می‌آورد، و غیره. هرچه پول بیشتری در بانک خود داشته باشید، بهره بیشتری دریافت می‌کنید، و در نتیجه پول شما در بانک بیشتر خواهد شد. حلقه های بازخورد تقویت کننده موتورهای یک سیستم هستند. احتمالاً می‌توانید خطر را در این حلقه های بازخوردی مشاهده کنید زیرا آنها به سرعت سیستم را به سمت انفجار سوق می‌دهند. جمعیت های وحشت زده، سلول های سرطانی و واکنش زنجیره ای هسته ای نمونه هایی برای تقویت پویایی بازخورد هستند.
همچنین حلقه‌های بازخورد تقویت‌کننده‌ای وجود دارد که در جهت مخالف عمل می‌کنند. به جای رشد نمایی، آنها منجر به فروپاشی نمایی به سمت افول می‌شوند: به نمونه‌هایی از نوع «کمتر… کمتر.» فکر کنید. در اینجا یکی از روان‌شناسی وام گرفته شده است: هر چه بیمار کمتر از زندگی لذت ببرد، کمتر به سلامتی اهمیت می‌دهد. زندگی اجتماعی او کمتر از زندگی لذت می‌برد. هر جا چیزی به عنوان یک حلقه باطل توصیف شود، احتمال زیادی وجود دارد که یک حلقه بازخورد تقویت کننده درگیر شود.
مراجع:
بینش‌های مرتبط
آزمون های ساختار مدل
مدل سازی دینامیکی – مدل ...
مدل سازی دینامیکی – مدل ...
