مدل سازی بیماری‌های حاد – مدل SIR

مقدمه

کسانی که بیماری مبتلا می‌شوند، برای مدتی معین مبتلا شده اما پس از آن بهبود یافته و به طور دائم در برابر بیماری ایمن می‌شوند. این فرض که افراد بهبود می‌یابند حلقه بازخوردی جدیدی ایجاد می‌کند که حلقه بهبودی نامیده می‌شود. هرچه تعداد افراد مبتلا بیشتر باشد نرخ بهبودی نیز افزایش یافته و در نتیجه تعداد افراد مبتلای باقیمانده کاهش می‌یابد.

یک مدل بیماری حاد را نشان می‌دهد. در حالی که مدل SI فرآیند اصلی ابتلا شامل می‌شود اما مفروضات ساده ساز و محدود کننده زیادی را در نظر می‌گیرد.

مفروضات مدل

• زاد و ولد، مرگ و میرها و مهاجرت‌ها نادیده گرفته شده‌اند. بنابراین جمعیت کل ثابت است
• جمعیت را همگن فرض می‌کند
• میان بیماری که به واسطه بهبودی و افزایش ایمنی عمومی یا به دلیل مرگ از جمعیت مبتلایان خارج شده‌اند، تمایزی قائل نمی‌شود
• امینی حاصل دائمی است
• هیچ دوره کمونی در این مدل وجود ندارد. افرادی که تحت تاثیر عامل بیماری زا قرار می‌گیرند، بی درنگ به بیماری مبتلا می‌شوند
• میانگین مدت زمان ابتلا ثابت در نظر گرفته شده است
• نرخ بهبودی یک فرآیند از درجه اول است به این معنا که همه افراد در یک زمان معین بهبود نمی‌یابند،‌ بلکه جمعیت افراد مبتلا به شکل نمایی کاهشی می‌یابد‌
• برخی از افراد به سرعت بهبود می‌یابند و برخی دیگر به آرامی

بیماری حاد و مزمن

بیماری مزمن: افراد مبتلا به بیماری تا ابد مبتلا باقی می‌مانند. در نیتجه زمانی که حتی یک فرد مبتلا وارد جامعه می‌شود، همه افراد مستعد،‌ در نهایت به بیماری مبتلا می‌شوند.

بیماری حاد: بسیاری از بیماریهای عفونی یک دوره بیماری حاد عفونی اجیاد می‌کنند که به بهبودی و توسعه سطح ایمنی بدن، یا به مرگ منتهی می‌شود.

اغلب همه گیریها پیش از آنکه تمامی افراد مستعد مبتلا شوند، پایان می‌پذیرند چرا که سرعت بهبودی افراد مبتلا از سرعت ابتلای افراد مستعد بیشتر است.

به همین دلیل است که این مدل برای بیماری‌های مزمن کاربرد دارد،  نه بیماری‌های حادی چون آنفولانزا و طاعون.

انواع جمعیت

• افراد مستعد بیماری S
• افراد مبتلا به بیماری I
• افراد بهبود یافته R

زمانی که افراد به بیماری مبتلا می‌شوند از دسته افراد مستعد به دسته مبتلایان انتقال می‌یابند.

حلقه‌های مدل SIR

• حلقه مثبت سرایت بیماری- بیماری‌های واگیردار زمانی شیوع می‌یابند که افراد مبتلا با افراد مستعد در تماس بوده و بیماری را به آنها انتقال دهند که از این طریق موجب افزایش جمعیت مبتلایان (حلقه مثبت )
• حلقه منفی کاهش بیماری – به طور همزمان سبب کاهش تعداد افراد مستعد می‌گردد (حلقه منفی)
• حلقه منفی بهبودی – افراد به مدت محدودی مبتلا به بیماری می‌شوند و سرایت دهنده آن باقی می‌مانند، سپس بهبود یافته و نسبت به بیماری مصون می‌شوند.

معادلات

جمعیت مبتلایان (I) با نرخ ابتلا یعنی (IR) افزایش یافته در حالی که جمعیت مستعد (S) با نرخ ابتلا کاهش می‌یابد.

I = Integral ( IR – RR , I.)

S=Integral (-IR, N-I. , -R.)

R = Integral (RR , R.)

IR = (CiS) (I/N)

RR = I / d

معرفی نمادها

 N: جمعیت کل جامعه

  I: جمعیت مبتلایان به بیماری است.

  I.: تعداد اولیه افراد مبتلا به بیماری است.

 C: افراد در یک جامعه با نرخ معینی با یکدیگر در تماس‌اند (نرخ تماس یا C با واحد تعداد افراد در ارتباط با یک فرد در یک دوره زمانی، یا دوره زمانی/۱ ،‌‌اندازه گیری می‌شود).

S : جمعیت افراد مستعد بیماری – در هر دوره زمانی، تعداد SC برخورد با دیگران ایجاد می‌کنند. برخی از این برخوردها با افراد مبتلا صورت می‌گیرد.

i : احتمال ابتلا به بیماری، احتمال ابتلای فرد به بیماری پس از برخورد با یک فرد مبتلاست.

IR : نرخ ابتلا برابر است با مجموع کل برخوردهای افراد مستعد SC ضربدر احتمال آنکه هر یک از برخوردها، برخوردی با یک فرد مبتلا باشد ‌I/N ، ضربدر احتمال آنکه برخورد با یک فرد مبتلا منجر به ابتلای آن فرد گردد.

RR : نرخ بهبودی برابر است با جمعیت مبتلا تقسیم بر میانگین زمان ابتلا

d : میانگین مدت زمان ابتلا

پویایی‌ها را می‌توان با نادیده گرفتن تعداد تولدها، مرگ و میرها یا مهاجرت‌ها،‌ یعنی ثابت ماندن عدد جمعیت کل،‌ تعیین نمود.

توسعه مدل

1. جمعیت افراد مستعد را می‌توان به چندین زیر جمعیت مجزا یا حتی به چندین فرد متمایز تفکیک کرد که هر یک در ارتباط با افراد دیگر، نرخ تماسی مجزا از دیگران دارند.
2. متغیر حالت جدید می‌توان برای در نظر گرفتن افراد قرنطینه شده یا افراد واکسینه شده به مدل افزود
3. نرخ زاد و ولد و مرگ و میرها را می‌توان اضافه کرد
4. می توان رویدادهای تصادفی به منظر شبیه سازی ماهیت تصادفی ارتباطات میان افراد مبتلا و مستعد به مدل اضافه کرد.