الگوریتم Subtractive Clustering چیست؟ آموزش خوشه‌بندی تفریقی:بخش دوم

11. تحلیل پیچیدگی و مقیاس‌پذیری

فرض کنید N تعداد نمونه‌ها، d تعداد ویژگی‌ها و K تعداد مراکز نهایی باشد.

11.1 هزینه محاسبه پتانسیل اولیه

برای هر یک از N نمونه، فاصله تا N نمونه محاسبه می‌شود و هر فاصله در d بعد هزینه دارد. بنابراین:

این نتیجه با تحلیل Chiu (1997) سازگار است که رشد خطی با بعد و درجه دوم با تعداد نمونه‌ها را گزارش می‌کند.

.

11.2 هزینه تفریق پس از هر مرکز

پس از انتخاب یک مرکز، کاهش پتانسیل برای همه نمونه‌ها نیازمند:

عملیات است. برای K مرکز:

در نتیجه:

و چون K≤N، مرتبه غالب نسخه مستقیم:

است.

.

11.3 بهترین، متوسط و بدترین حالت

• Best case محاسباتی در نسخه مستقیم: حتی اگر تنها یک مرکز پذیرفته شود، محاسبه پتانسیل اولیه همچنان Θ(N²d) است.
• Average: تعداد مراکز K معمولاً بسیار کمتر از N است، اما جمله زوجی همچنان غالب می‌ماند.
• Worst: ممکن است تعداد زیادی کاندید ارزیابی شود، ولی مرتبه پایه همچنان O(N²d) باقی می‌ماند.

نکته اصطلاحی: عبارت «Average» در اینجا یک average-case نظری به معنای امید ریاضی تحت مدل احتمالاتی مشخص نیست؛ منظور حالت عملی متعارفی است که در آن تعداد مراکز انتخاب‌شده معمولاً بسیار کمتر از تعداد نمونه‌هاست. بدون فرض توزیعی برای داده و تعداد مراکز، کران متوسط عمومی مستقلی ادعا نمی‌شود.

.

11.4 پیچیدگی حافظه

اگر داده و پتانسیل‌ها نگهداری شوند اما فاصله‌ها به‌صورت بلوکی محاسبه شوند:

حافظه کافی است.

اگر ماتریس کامل فاصله‌های زوجی ذخیره شود:

حافظه اضافی لازم خواهد بود.

.

11.5 هزینه پیش‌بینی یا انتساب

SC ذاتاً مرحله prediction نظارت‌شده ندارد. اگر پس از استخراج مراکز، هر نمونه جدید به نزدیک‌ترین مرکز تخصیص یابد، هزینه هر نمونه جدید تقریباً:

است. اگر مرکزها فقط برای ساخت FIS استفاده شوند، هزینه استنتاج متعلق به مدل فازی نهایی است نه خود SC.

.

11.6 مقیاس‌پذیری

عبارت «one-pass» یا «fast» در برخی مستندات باید با احتیاط تفسیر شود. SC در مقایسه با الگوریتم‌های تکراری centroid-based ممکن است از تعداد دوره‌های بهینه‌سازی معاف باشد، اما محاسبه کامل پتانسیل زوجی باعث می‌شود اجرای مستقیم برای میلیون‌ها نمونه مناسب نباشد. Sampling، تقریب kNN، GPU و محاسبه بلوکی از مسیرهای طبیعی توسعه مقیاس‌پذیرند.

.

12. ابرپارامترها و تنظیم

12.1 شعاع نفوذ r_a

مهم‌ترین پارامتر SC است. این پارامتر پهنای ناحیه‌ای را تعیین می‌کند که در محاسبه پتانسیل سهم معنادار دارد.

• کوچک: حساسیت محلی زیاد، مراکز بیشتر، خطر تفکیک بیش‌ازحد.
• بزرگ: هموارسازی بیشتر، مراکز کمتر، خطر ادغام ساختارهای مجزا.

مقدار 0.5 در برخی پیاده‌سازی‌های MathWorks پیش‌فرض است، اما مقدار بهینه عمومی محسوب نمی‌شود.

.

12.2. Squash Factor η

رابطه:

را تعیین می‌کند. افزایش  اثر یک مرکز انتخاب‌شده را بر ناحیه وسیع‌تری پخش می‌کند و احتمال انتخاب مراکز نزدیک را کاهش می‌دهد. مقدار 1.25 در مستندات جاری MATLAB رایج است؛ در ادبیات تاریخی مقادیر دیگری نیز مشاهده می‌شوند. بنابراین 1.25 باید پیش‌فرض نرم‌افزاری، نه ثابت نظری، تلقی شود.

نکته منبعی: در شرح‌های کلاسیک، نسبت شعاع تفریق به شعاع نفوذ در حدود 1.5 به‌عنوان انتخاب تجربی رایج گزارش شده است؛ در مستندات فعلی MathWorks، مقدار پیش‌فرض Squash Factor برابر 1.25 است. این اختلاف تاریخی/پیاده‌سازی است و هیچ‌یک ثابت نظری یا مقدار بهینه عمومی محسوب نمی‌شود (Chiu, 1994; MathWorks, 2026a).

.

12.3.Accept Ratio

ε_accept آستانه پذیرش قطعی است. مقدار بزرگ‌تر، استاندارد سخت‌گیرانه‌تری برای کاندیدهای بعدی ایجاد می‌کند. مقدار پیش‌فرض رایج MATLAB برابر 0.5 است.

.

12.4.Reject Ratio

ε_reject آستانه‌ای برای رد کاندیدهای بسیار کم‌پتانسیل است. مقدار پیش‌فرض رایج MATLAB برابر 0.15 است. باید همواره از Accept Ratio کوچک‌تر باشد.

.

12.5 بردار شعاع به‌ازای ویژگی

در برخی پیاده‌سازی‌ها می‌توان برای هر بعد شعاع متفاوت تعیین کرد. این کار معادل تغییر مستقیم هندسه فاصله و وزن‌گذاری ضمنی ویژگی‌هاست؛ بنابراین باید بر مبنای دانش دامنه یا اعتبارسنجی انجام شود.

.

12.6 راهبرد تنظیم

برای یک کاربرد مستقل، مناسب است چند مقدار r_a بررسی و برای هرکدام تعداد مراکز، پایداری، کیفیت انتساب یا عملکرد مدل پایین‌دستی سنجیده شود. اگر SC برای ANFIS به کار می‌رود، معیار نهایی فقط کیفیت خوشه‌بندی نیست؛ تعداد قواعد، خطای پیش‌بینی، پیچیدگی و تعمیم مدل نیز باید هم‌زمان بررسی شوند (Demirli & Muthukumaran, 2003).

.

13. مزایا

• تعداد خوشه‌ها به‌صورت ورودی صریح لازم نیست.
• مراکز از خود داده انتخاب می‌شوند و بنابراین نمونه‌های اولیه واقعی‌اند.
• برخلاف FCM و k-means، به بهینه‌سازی تکراری مراکز تا همگرایی نیاز ندارد.
• در صورت ثبات tie-breaking و پیش‌پردازش، رفتار آن می‌تواند بازتولیدپذیر باشد.
• از grid partitioning در ابعاد چندگانه مقیاس‌پذیرتر است.
• پیوند طبیعی با تولید قواعد فازی و مدل‌های Takagi–Sugeno دارد.
• برای مقداردهی اولیه FCM و روش‌های دیگر مناسب است.
• مفهوم پتانسیل و تفریق از نظر تفسیری روشن و قابل مشاهده است.
• granularity را می‌توان مستقیماً از طریق شعاع کنترل کرد.
• قابلیت توسعه به kernel، وزن‌دهی، فاصله‌های مکانی و مدل‌های ترکیبی را دارد.

.

14. محدودیت‌ها و معایب

• نسخه مستقیم هزینه زمانی تقریباً درجه دوم در تعداد نمونه‌ها دارد.
• حساسیت بالایی به شعاع نفوذ دارد.
• تعداد خوشه‌ها «کاملاً خودکار» نیست و تابع ابرپارامترهاست.
• scaling نامناسب می‌تواند ساختار خروجی را به‌طور بنیادی تغییر دهد.
• تعداد و مکان مراکز می‌تواند در نزدیکی آستانه‌ها ناپایدار باشد.
• هیچ تابع هدف استاندارد تکراری برای مقایسه کیفیت جواب‌های مختلف ارائه نمی‌کند.
• تضمینی برای بازیابی تعداد واقعی خوشه‌ها وجود ندارد.
• مراکز نسخه کلاسیک باید از میان نمونه‌های مشاهده‌شده انتخاب شوند.
• فاصله اقلیدسی برای ساختارهای غیرکروی یا منیفلدی محدودکننده است.
• خوشه‌های با چگالی بسیار متفاوت با یک شعاع مشترک دشوارند.
• داده‌های نامرتبط یا پُربعد می‌توانند تمایز فاصله‌ها را کاهش دهند.
• نسخه پایه سازوکار صریح تشخیص noise ندارد.
• membership fuzzy مانند FCM تولید نمی‌کند.
• probability یا likelihood تولید نمی‌کند.
• مقاومت ذاتی در برابر contamination یا outlier اثبات نشده است.
• ذخیره ماتریس کامل فاصله برای داده‌های بزرگ می‌تواند از نظر حافظه ناممکن باشد.

.

15. کاربردها و موارد استفاده

SC در چند خانواده کاربرد نقش مشخصی دارد. نخست، در شناسایی مدل‌های فازی برای تعیین تعداد قواعد اولیه و مکان مراکز استفاده می‌شود؛ این کاربرد همان زمینه اصلی معرفی الگوریتم است. دوم، در ANFIS و سیستم‌های neuro-fuzzy برای ایجاد ساختار اولیه به کار می‌رود و سپس پارامترهای premise و consequent با الگوریتم یادگیری تنظیم می‌شوند. سوم، می‌تواند به‌عنوان initializer برای FCM، NMF یا روش‌های بهینه‌سازی دیگر به کار رود.

در کاربردهای مهندسی، SC برای مدل‌سازی فرایند، soft sensor، پیش‌بینی سری زمانی، هیدرولوژی، داده‌های چاه‌پیمایی، تحلیل خاک و سامانه‌های صوتی گزارش شده است. در این موارد معمولاً SC بخش ابتدایی یک خط لوله ترکیبی است، نه مدل نهایی به‌تنهایی.

مطالعه Vernieuwe و همکاران (2006) SC را در شناسایی مدل Takagi–Sugeno برای مسئله هیدرولوژیک با روش‌های خوشه‌بندی دیگر مقایسه کرد. Casalino و همکاران (2014) از SC برای مقداردهی اولیه NMF و تخمین rank استفاده کردند. در مطالعات جدیدتر نیز SC در پیش‌بینی QoS ابری (Hussain et al., 2022)، تشخیص lithofacies از داده‌های چاه‌پیمایی (Cherana et al., 2022)، مدل‌های ANFIS برای خاک‌های انبساطی (Jokar & Heidaripanah, 2024)، soft sensor صنعتی (Elshenawy et al., 2025) و نسخه وزن‌دار تخمین جهت صوت (Mitchell et al., 2025) به‌کار رفته است.

این گستره کاربرد به معنای برتری عمومی الگوریتم نیست. ارزش اصلی آن معمولاً در زمانی ظاهر می‌شود که مسئله به مجموعه‌ای کوچک از prototypeها یا قواعد اولیه نیاز دارد و کنترل پیچیدگی ساختار اهمیت دارد.

.

16. مقایسه با الگوریتم‌های مشابه

روش	نیاز به تعداد خوشه	ماهیت مرکز	تابع هدف/چگالی	نویز	مقیاس‌پذیری	تناسب اصلی
Subtractive Clustering	مستقیم خیر؛ غیرمستقیم با شعاع	نمونه داده	پتانسیل محلی	متوسط/محدود	ضعیف تا متوسط در نسخه مستقیم	prototype و FIS initialization
Mountain Method	مستقیم خیر	نقاط grid	پتانسیل	محدود	ضعیف در ابعاد بالا	مطالعه تاریخی و فضای کم‌بعد
k-means	بله	میانگین آزاد	SSE	ضعیف	خوب	خوشه‌های فشرده و بزرگ‌مقیاس
FCM	بله	میانگین fuzzy	objective تکراری	ضعیف تا متوسط	متوسط	عضویت نرم
Mean Shift	خیر	mode آزاد	KDE/mode seeking	وابسته به bandwidth	متوسط	قله‌های چگالی
DBSCAN	خیر	مرکز کلاسیک ندارد	اتصال چگالی	خوب برای noise	متوسط تا خوب	خوشه غیرکروی و noise
HDBSCAN	خیر	ساختار سلسله‌مراتبی	چگالی سلسله‌مراتبی	خوب	متوسط	چگالی متفاوت و noise
GMM	بله یا انتخاب مدل	میانگین احتمالاتی	likelihood	محدود	متوسط	عدم قطعیت و کوواریانس
Gustafson–Kessel	بله	مرکز fuzzy	objective + covariance	محدود	متوسط	خوشه بیضوی

SC.16.1 در برابر Mountain Method

تفاوت کلیدی در مجموعه نقاط کاندید است. Mountain Method روی grid عمل می‌کند؛ SC فقط روی نقاط واقعی داده. ازاین‌رو SC اثر انفجار شبکه در ابعاد بالا را کاهش می‌دهد.

SC.16.2 در برابر k-means و FCM

k-means و FCM از تعداد خوشه از پیش تعیین‌شده استفاده می‌کنند و مراکز را به‌صورت تکراری جابه‌جا می‌کنند. SC تعداد مراکز را از فرایند پتانسیل و آستانه‌ها استخراج می‌کند و مراکز اولیه را به نقاط مشاهده‌شده محدود می‌سازد.

.

SC.16.3 در برابر DBSCAN

هر دو بدون ورودی صریح K قابل استفاده‌اند و بر چگالی تکیه دارند، اما DBSCAN مفهوم اتصال نواحی متراکم و noise را صریحاً مدل می‌کند. SC بیشتر در پی یافتن قله‌های تراکم و prototypeهاست.

.

SC.16.4 در برابر Mean Shift

هر دو به kernel و چگالی نزدیک‌اند. Mean Shift نقاط کاندید را در جهت gradient چگالی حرکت می‌دهد؛ SC مراکز را از میان نمونه‌ها انتخاب و سپس پتانسیل همسایگی را کاهش می‌دهد.

SC.16.5 در برابر GMM

GMM یک مدل احتمال با likelihood، mixture weights و covariance است؛ SC probability تولید نمی‌کند و در پی بیشینه‌سازی likelihood نیست.

.

17. گونه‌ها، توسعه‌ها و نوآوری‌ها

17.1 Mountain Method به‌عنوان پیشینه مستقیم

Yager و Filev (1994) Mountain Method را معرفی کردند. اهمیت این روش برای فهم SC در ایده پتانسیل و suppression است، اما استفاده از grid در ابعاد بالا محدودکننده بود.

.

17.2.Kernel-Based Subtractive Clustering

Kim و همکاران (2005) SC را با فاصله‌های kernel توسعه دادند. هدف، رفع محدودیت فاصله اقلیدسی در ساختارهای غیرخطی بود. این توسعه نشان می‌دهد که رفتار SC به‌طور بنیادی به تعریف شباهت وابسته است.

.

17.3 Extended و Parametric SC

Demirli و Muthukumaran (2003) نسخه‌ای توسعه‌یافته همراه با جست‌وجوی پارامتری را در مسئله job sequencing بررسی کردند. این مسیر بر حساسیت ساختار به پارامترها و لزوم جست‌وجوی کنترل‌شده تأکید دارد.

.

17.4 SC همراه FCM

SC می‌تواند تعداد و موقعیت مراکز اولیه را فراهم و سپس FCM membershipها و مراکز را refine کند. این ترکیب تلاش می‌کند خودکارسازی ساختار SC را با بهینه‌سازی تکراری FCM جمع کند.

.

17.5 SC همراه ANFIS

یکی از تثبیت‌شده‌ترین مسیرها استفاده از SC برای تولید FIS اولیه و سپس آموزش ANFIS است. تعداد مراکز SC مستقیماً بر تعداد قواعد و پیچیدگی مدل اثر می‌گذارد. MathWorks نیز این workflow را در ابزارهای رسمی genfis پشتیبانی می‌کند.

.

17.6 SC همراه بهینه‌سازی تکاملی

Zhao و همکاران (2009) SC را با coevolutionary PSO برای استخراج مدل‌های فازی فشرده ترکیب کردند. در این خانواده، SC معمولاً نقطه شروع ساختار است و بهینه‌سازی تکاملی پارامترها را بهبود می‌دهد.

.

17.7 SC برای مقداردهی اولیه NMF

Casalino و همکاران (2014) نشان دادند که SC می‌تواند در انتخاب initialization و تخمین تعداد مولفه‌های NMF نقش داشته باشد. این کاربرد نشان می‌دهد SC را می‌توان به‌عنوان یک روش عمومی prototype/rank initialization نیز دید.

.

17.8.Weighted Subtractive Clustering

در توسعه‌های جدید، وزن هر مشاهده می‌تواند وارد پتانسیل شود تا کیفیت یا قابلیت اعتماد نمونه‌ها لحاظ شود. مطالعه Mitchell و همکاران (2025) در مسئله تخمین جهت صوت نمونه‌ای از این روند است.

.

17.9 Spatial و Geodesic SC

Kenyeres، Kummer و Abonyi (2026) ایده SC را برای تخصیص مکانی منابع توسعه دادند و فاصله شبکه راه و تقاضای وزن‌دار را وارد مدل کردند. اهمیت این توسعه در آن است که مفهوم پتانسیل از فضای اقلیدسی ساده به هندسه شبکه‌ای منتقل می‌شود.

17.10 روندهای پس از 2015

در جست‌وجوی هدفمند بانک دانش مرحله 1 برای بازه 2015 تا اوت 2026، SC به‌ندرت به‌عنوان موضوع مستقل در کنفرانس‌های اصلی یادگیری ماشین ظاهر شد. جهت‌گیری غالبِ منابع بازیابی‌شده استفاده آن در مدل‌های ترکیبی fuzzy/neuro-fuzzy، فاصله‌های تخصصی، وزن‌دهی، کاربردهای مکانی و مسئله‌های صنعتی بود. بنابراین این گزاره یک جمع‌بندی از دامنه جست‌وجوی مستند پروژه است، نه ادعای وجودی درباره تمام ادبیات منتشرشده.

.

17.11 جهت‌گیری‌های آینده

جمع‌بندی تحلیلی: مسیرهای پژوهشی محتمل شامل approximate SC برای کاهش هزینه زوجی، شعاع تطبیقی برای چگالی‌های متفاوت، نسخه‌های streaming و concept-drift aware، metric learning، GPU، robust kernels، داده mixed-type، privacy-preserving SC و ترکیب با embeddingهای عمیق است. این موارد جهت‌گیری پیشنهادی‌اند و نباید به‌عنوان مجموعه‌ای از توسعه‌های تثبیت‌شده یا دارای اجماع معرفی شوند.

.

18. جمع‌بندی، نکات کلیدی و سنجش یادگیری

18.1 جمع‌بندی فصل

Subtractive Clustering الگوریتمی حریصانه و مبتنی بر پتانسیل است که هر نمونه را یک مرکز بالقوه در نظر می‌گیرد. تفاوت اصلی آن با Mountain Method حذف grid و محدودکردن کاندیدها به نقاط واقعی داده است. الگوریتم ابتدا تراکم محلی را با یک kernel نمایی تخمین می‌زند، نقطه دارای بیشترین پتانسیل را انتخاب می‌کند و سپس با تفریق اثر آن، از انتخاب مراکز نزدیک جلوگیری می‌کند. پذیرش مراکز بعدی با ترکیبی از پتانسیل نسبی و فاصله از مراکز موجود انجام می‌شود.

برتری مفهومی SC این است که نیاز به تعیین مستقیم  ندارد و برای ساخت prototype و قواعد فازی بسیار مناسب است. در مقابل، شعاع نفوذ نقش تعیین‌کننده‌ای در تعداد مراکز دارد و روش از نظر محاسباتی در نسخه مستقیم دارای هزینه O(N^2d) است. SC تابع هدف تکراری مانند FCM ندارد، probability تولید نمی‌کند و تضمینی برای بازیابی تعداد واقعی خوشه‌ها ارائه نمی‌دهد.

.

18.2 نکات کلیدی برای مرور سریع

• SC از Mountain Method توسعه یافته است.
• هر نمونه یک مرکز بالقوه است.
• پتانسیل بالا یعنی همسایگی متراکم‌تر.
• پس از انتخاب مرکز، پتانسیل اطراف آن کاهش می‌یابد.
•  مهم‌ترین ابرپارامتر است.
• Squash Factor فاصله مؤثر میان مراکز را کنترل می‌کند.
• Accept/Reject Ratio قواعد توقف و پذیرش را تنظیم می‌کنند.
• تعداد خوشه ورودی مستقیم نیست اما به‌شدت تابع پارامترهاست.
• نسخه پایه complexity تقریباً درجه دوم در  دارد.
• مرکز SC در نسخه کلاسیک یکی از نمونه‌های داده است.
• SC عضویت fuzzy صریح تولید نمی‌کند.
• کاربرد اصلی تاریخی آن fuzzy model identification است.

.

18.3 پرسش‌های مفهومی

1. چرا حذف grid مهم‌ترین تفاوت SC با Mountain Method است؟
2. چرا عبارت «تعداد خوشه به‌طور خودکار تعیین می‌شود» می‌تواند گمراه‌کننده باشد؟
3. تفاوت r_a و  r_b چیست؟
4. چرا  r_b معمولاً از r_a بزرگ‌تر است؟
5. SC از چه نظر density-based و از چه نظر prototype-based است؟
6. چرا SC را نباید معادل FCM بدون تعیین k دانست؟
7. نقش شرط پذیرش میانی چیست؟
8. چرا SC برای داده‌های بسیار پُربعد به انتخاب ویژگی یا metric مناسب نیاز دارد؟

.

18.4 تمرین‌های محاسباتی و تحلیلی

1. برای داده {0,0.2,0.8,1} پتانسیل اولیه را با r_a=0.4 محاسبه کنید.
2. برای همان داده، اثر η=1.1 ، 1.25 و 1.5 را بر مرکز دوم تحلیل کنید.
3. شرایطی بسازید که کاندید در بازه میانی قرار گیرد و با شرط فاصله پذیرفته شود.
4. نشان دهید اگر یک ویژگی در عدد 100 ضرب شود، بدون نرمال‌سازی ساختار پتانسیل چگونه تغییر می‌کند.
5. هزینه حافظه ماتریس فاصله برای N=50000 را با ذخیره float64 برآورد کنید.
6. توضیح دهید چرا یک خوشه کوچک ممکن است در حضور خوشه‌ای بسیار بزرگ از آستانه Reject عبور نکند.

.

18.5 پروژه پیشنهادی

یک مجموعه داده عددی استاندارد انتخاب کنید. چند مقدار  را اجرا و برای هر مقدار تعداد مراکز، پایداری مرکزها و کیفیت انتساب به نزدیک‌ترین مرکز را بررسی کنید. سپس همان داده را با k-means، FCM و DBSCAN مقایسه کنید. اگر برچسب مرجع وجود دارد، فقط برای ارزیابی پسینی از آن استفاده شود. تحلیل نهایی باید مشخص کند آیا تغییر  صرفاً تعداد مراکز را تغییر می‌دهد یا ساختار کیفی نواحی منتخب نیز جابه‌جا می‌شود.

.

19. منابع

Abonyi, J. (2003). Fuzzy model identification for control. Birkhäuser.

Babuška, R. (1998). Fuzzy modeling for control. Kluwer Academic Publishers.

Casalino, G., Del Buono, N., & Mencar, C. (2014). Subtractive clustering for seeding non-negative matrix factorizations. Information Sciences, 257, 369–387. https://doi.org/10.1016/j.ins.2013.05.038

Chiu, S. L. (1994). Fuzzy model identification based on cluster estimation. Journal of Intelligent & Fuzzy Systems, 2(3), 267–278. https://doi.org/10.3233/IFS-1994-2306

Chiu, S. L. (1997). An efficient method for extracting fuzzy classification rules from high dimensional data. Journal of Advanced Computational Intelligence and Intelligent Informatics, 1(1), 31–36. https://doi.org/10.20965/jaciii.1997.p0031

Demirli, K., & Muthukumaran, P. (2003). Subtractive clustering based modeling of job sequencing with parametric search. Fuzzy Sets and Systems, 137(2), 235–270. https://doi.org/10.1016/S0165-0114(02)00364-0

Gómez-Skarmeta, A. F., Delgado, M., & Vila, M. A. (1999). About the use of fuzzy clustering techniques for fuzzy model identification. Fuzzy Sets and Systems, 106(2), 179–188. https://doi.org/10.1016/S0165-0114(97)00276-5

Jang, J.-S. R., Sun, C.-T., & Mizutani, E. (1997). Neuro-fuzzy and soft computing. Prentice Hall.

Kim, D. W., Lee, K., Lee, D., & Lee, K. H. (2005). A kernel-based subtractive clustering method. Pattern Recognition Letters, 26(7), 879–891. https://doi.org/10.1016/j.patrec.2004.10.001

Mitchell, D. A., Rafaely, B., Kumar, A., & Tourbabin, V. (2025). Improved direction of arrival estimations with a wearable microphone array for dynamic environments by reliability weighting. EURASIP Journal on Advances in Signal Processing, 2025, 42. https://doi.org/10.1186/s13634-025-01247-2

Sumathi, S., & Paneerselvam, S. (2010). Computational intelligence paradigms: Theory & applications using MATLAB. CRC Press.

Velthuizen, R. P., Hall, L. O., Clarke, L. P., & Silbiger, M. L. (1997). An investigation of mountain method clustering for large data sets. Pattern Recognition, 30(7), 1121–1135. https://doi.org/10.1016/S0031-3203(96)00133-1

Vernieuwe, H., De Baets, B., & Verhoest, N. (2006). Comparison of clustering algorithms in the identification of Takagi-Sugeno models: A hydrological case study. Fuzzy Sets and Systems, 157(21), 2876–2896. https://doi.org/10.1016/j.fss.2006.04.007

.

Yager, R. R., & Filev, D. P. (1994a). Approximate clustering via the mountain method. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, 24(8), 1279–1284. https://doi.org/10.1109/21.299710

Yager, R. R., & Filev, D. P. (1994b). Generation of fuzzy rules by mountain clustering. Journal of Intelligent & Fuzzy Systems, 2(3), 209–219. https://doi.org/10.3233/IFS-1994-2301

Zhao, L., Yang, Y., & Zeng, Y. (2009). Eliciting compact T-S fuzzy models using subtractive clustering and coevolutionary particle swarm optimization. Neurocomputing, 72(10-12), 2569–2575. https://doi.org/10.1016/j.neucom.2008.11.001

Cherana, A., Aliouane, L., Doghmane, M. Z., & Ouadfeul, S.-A. (2022). Lithofacies discrimination of the Ordovician unconventional gas-bearing tight sandstone reservoirs using a subtractive fuzzy clustering algorithm applied on the well log data: Illizi Basin, the Algerian Sahara. Journal of African Earth Sciences, 196, 104732. https://doi.org/10.1016/j.jafrearsci.2022.104732

Elshenawy, L. M., Badawy, A., AbouOmar, M. S., & Mahmoud, T. A. (2025). A self-organizing soft sensor for process control systems: Integrating support vector regression with subtractive clustering. Neural Computing and Applications, 37(28), 23301–23333. https://doi.org/10.1007/s00521-025-11504-y

Hussain, W., Merigó, J. M., Raza, M. R., & Gao, H. (2022). A new QoS prediction model using hybrid IOWA-ANFIS with fuzzy C-means, subtractive clustering and grid partitioning. Information Sciences, 584, 280–300. https://doi.org/10.1016/j.ins.2021.10.054

Jokar, M. H., & Heidaripanah, A. (2024). ANFIS models with subtractive clustering and fuzzy C-mean clustering techniques for predicting swelling percentage of expansive soils. Journal of Soft Computing in Civil Engineering, 8(4), 141–159. https://doi.org/10.22115/scce.2024.408595.1691

Kenyeres, É., Kummer, A., & Abonyi, J. (2026). Subtractive clustering for spatial resource allocation problems in waste management. Scientific Reports, 16, 14986. https://doi.org/10.1038/s41598-026-45718-4

MathWorks. (2026a). subclust — Find cluster centers using subtractive clustering. Fuzzy Logic Toolbox documentation. https://www.mathworks.com/help/fuzzy/subclust.html

MathWorks. (2026b). genfis — Generate fuzzy inference system object from data. Fuzzy Logic Toolbox documentation. https://www.mathworks.com/help/fuzzy/genfis.html MathWorks. (2026c). genfisOptions — Option set for genfis function. Fuzzy Logic Toolbox documentation. https://www.mathworks.com/help/fuzzy/genfisoptions.html